Question

设f（x）=2cosx•（cosx-

3

sinx）．
（1）若函数g（x）=f（x-

π

6

），求函数g（x）的最小正周期；
（2）求函数f（x）的单调递增区间．

Answer 1

考点：两角和与差的正弦函数,三角函数的周期性及其求法,正弦函数的单调性

专题：三角函数的图像与性质

分析：（1）利用二倍角公式和两角和公式对函数解析式化简整理，则g（x）的解析式可得，利用周期公式求得函数g（x）的最小正周期．
（2）利用余弦函数的性质求得函数的单调增区间．

解答： 解：（1）f（x）=2cos²x-2

3

sinxcosx=1+cos2x-

3

sin2x=2cos（2x+

π

3

）+1，
∴g（x）=2cos2x+1，
∴函数f（x）的最小正周期为T=

2π

2

=π，
（2）∵f（x）=2cos（2x+

π

3

）+1，由2kπ-π≤2x+

π

3

≤2kπ，得kπ-

2π

3

≤x≤kπ-

π

6

，k∈Z
∴函数f（x）单调增区间为[kπ-

2π

3

，kπ-

π

6

]（k∈Z）．

点评：本题主要考查了两角和与差的余弦函数，二倍角公式的应用，三角函数图象与性质．解题的过程中注意与正弦函数和余弦函数图象结合．