Question

已知f₀（x）=xe^x，f₁（x）=f₀′（x），f₂（x）=f₁′（x），…f_n（x）=f_n-1′（x）（n∈N^*）
（1）请写出f_n（x）（n∈N^*）的表达式（不需要证明）；
（2）记f_n（x）（n∈N^*）的最小值为g（n），求函数y=g（n）（n∈N^*）的最小值；
（3）对于（1）中的f_n（x），设s（x）=f_n（x）+x²lnx-（x+n）e^x，r（x）=-x²+

2

e

x+

1

3

a-1（a∈R），其中e是自然对数的底数），若方程s（x）=r（x）有两个不同实根，求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：根的存在性及根的个数判断,导数的运算

专题：导数的综合应用

分析：（1）根据导数的运算即可请写出f_n（x）（n∈N^*）的表达式；
（2）求出f_n（x）表达式，求出函数的导数，利用导数和最值之间的关系即可，求函数y=g（n）（n∈N^*）的最小值；
（3）求出函数程s（x）和r（x）的最值关系，即可．

解答： 解  （1）∵f₀（x）=xe^x，
∴f₁（x）=f₀′（x）=（x+1）e^x，
f₂（x）=f₁′（x）=（x+2）e^x，
f₃（x）=f₂′（x）=（x+3）e^x，
…
f_n（x）=f_n-1′（x）=（x+n）e^x．
（2）∵f_n′（x）=（x+n+1）e^x．
∴当x＞-（n+1）时，f_n′（x）＞0；
当x＜-（n+1）时，f_n′（x）＜0；，
∴f_n（x）_min=f_n（-n-1）=-e^-（n+1），
∴g（n）=-e^-（n+1），
易知函数g（n）单调递增，
∴g（n）_min=g（1）=-

1

e2

，
即g（n）的最小值是-

1

e2

；          
（3）s（x）=f_n（x）+x²lnx-（x+n）e^x=x²lnx，
则方程s（x）=r（x）等价为 x²lnx=-x²+

2

e

x+

1

3

a-1；
又s′（x）=x（2lnx+1），其中x＞0，
易知s（x）在（0，

1

e

）递减，在（

1

e

，+∞）递增，
∴s（x）_min=s（

1

e

））=-

1

2e

，
且当x→0时，s（x）→0；当x→+∞时，s（x）→+∞，
而r（x）=-x²+

2

e

x+

1

3

a-1=-（x-

1

e

）²+

a

3

+

1

e

-1，
∴当x=

1

e

时，r（x）_max=

a

3

+

1

e

-1，
故要使方程s（x）=r（x）有两个根，
则

a 3 + 1 e -1＞- 1 2e r(0)= a 3 -1＜0

，
得3-

9

2e

＜a＜3．

点评：本题主要考查导数的运算以及利用导数研究函数的最值问题，综合考查导数的运算，考查学生的运算能力．