Question

中心在原点，对称轴为坐标轴的双曲线经过P（ 3，-4

2

 ）、Q（ 

9

4

，5 ）两点．
（1）求双曲线的方程；
（2）设F₁、F₂是双曲线的两个焦点，M是双曲线上位于第一象限的一点，且满足∠F₁MF₂=60°，求点M的坐标．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的关系,双曲线的标准方程

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）待定系数法，即可求得所求方程；
（2）设|MF₁|=m，|MF₂|=n，由双曲线的定义及余弦定理可得：

m+n-mn=100 n-m=8

，解得m、n，进而可求得点M的坐标．

解答： 解：（1）设双曲线的方程为Ax²-By²=1，则

9A-32B=1 81 16 A-25B=1

，
解得：A=-

1

9

，B=-

1

16

所以所求方程为

y2

16

-

x2

9

=1．
（2）如图，设|MF₁|=m，|MF₂|=n，则由双曲线的定义及余弦定理可得：

m+n-mn=100 n-m=8

，解得：m=2

13

-4，n=2

13

+4
设M（x，y），则由

y2 16 - x2 9 =1 x2+(y-5)2 =2 13 -4

，解得：x=±

9 3

5

，y=

8 13

5

．
由于点M在第一象限，故M（

9 3

5

，

8 13

5

）．

点评：本题主要考查双曲线的定义及标准方程等知识，考查学生余弦定理的应用能力及分析问题、解决问题的努力，属于中档题．