Question

10．已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且S_n=n-5a_n+23，n∈N^*，则数列{a_n}的通项公式是a_n=1+$3×（\frac{5}{6}）^{n-1}$．

Answer 1

分析 由S_n=n-5a_n+23，n∈N^*，可得n=1时，a₁=1+23-5a₁，解得a₁．n≥2时，a_n=S_n-S_n-1，变形为：a_n-1=$\frac{5}{6}$（a_n-1-1），再利用等比数列的通项公式即可得出．

解答 解：∵S_n=n-5a_n+23，n∈N^*，∴n=1时，a₁=1+23-5a₁，解得a₁=4．
n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=n-5a_n+23-[（n-1）-5a_n-1+23]=1-5a_n+5a_n-1，
变形为：a_n-1=$\frac{5}{6}$（a_n-1-1），
∴数列{a_n-1}是等比数列，首项为3，公比为$\frac{5}{6}$，
∴a_n-1=$3×（\frac{5}{6}）^{n-1}$，即a_n=1+$3×（\frac{5}{6}）^{n-1}$，
故答案为：1+$3×（\frac{5}{6}）^{n-1}$．

点评 本题考查了数列递推关系、等比数列的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．