Question

函数y=sin⁴x+cos⁴x是（　　）

• A、最小正周期为

  π

  2

  ，值域为[

  2

  2

  ，1]的函数
• B、最小正周期为

  π

  4

  ，值域为[

  2

  2

  ，1]的函数
• C、最小正周期为

  π

  2

  ，值域为[

  1

  2

  ，1]的函数
• D、最小正周期为

  π

  4

  ，值域为[

  1

  2

  ，1]的函数

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用,三角函数的周期性及其求法

专题：三角函数的求值

分析：利用平方关系与二倍角的正弦将y=sin⁴x+cos⁴x化为y=1-

1

2

×sin²2x，再利用降幂公式可求得y=

3

4

+

1

4

×cos4x，从而可求其周期和值域．

解答： 解：∵y=sin⁴x+cos⁴x
=（sin²x+cos²x）²-2sin²xcos²x
=1-

1

2

×sin²2x
=1-

1

2

×

1-cos4x

2

=

3

4

+

1

4

×cos4x，
∴其周期T=

2π

4

=

π

2

，其值域为[

1

2

，1]
故选：C．

点评：本题考查三角函数的周期性、值域及其求法，突出考查二倍角的正弦与余弦，降幂是关键，属于中档题．