Question

2．设向量$\overrightarrow{a}$=（sinx，cosx），$\overrightarrow{b}$=（sinx，$\sqrt{3}$sinx），x∈R，函数f（x）=$\overrightarrow{a}$•（$\overrightarrow{a}$+2$\overrightarrow{b}$）．
（1）求函数f（x）的最大值与单调递增区间；
（2）求使不等式f（x）≥2成立的x的取值集合．

Answer 1

分析 （1）首先利用平面向量的坐标运算求出三角函数的解析式，然后含蛋白质化简为一角一函数的形式；
（2）利用正弦函数的性质解答．

解答 解：（1）由向量$\overrightarrow{a}$=（sinx，cosx），$\overrightarrow{b}$=（sinx，$\sqrt{3}$sinx），x∈R，函数f（x）=$\overrightarrow{a}$•（$\overrightarrow{a}$+2$\overrightarrow{b}$）．
得到f（x）=（sinx，cosx）•（3sinx，cosx+2$\sqrt{3}$sinx）
=3sin²x+cos²x+2$\sqrt{3}$sinxcosx=1+1-cos2x+$\sqrt{3}$sin2x=2+2sin（2x-$\frac{π}{6}$）．
x∈R，所以函数f（x）的最大值为2+2=4；
令$2kπ-\frac{π}{2}≤2x-\frac{π}{6}≤2kπ+\frac{π}{2}$，得到$kπ-\frac{π}{6}≤x≤kπ+\frac{π}{3}$，k∈N，
得到函数的单调递增区间为[kπ-$\frac{π}{6}$，kπ+$\frac{π}{3}$]，k∈N；
（2）使不等式f（x）≥2成立，即2+2sin（2x-$\frac{π}{6}$）≥2即sin（2x-$\frac{π}{6}$）≥0的x的取值集合
为$2kπ≤2x-\frac{π}{6}≤2kπ+π$，
解得kπ+$\frac{π}{12}$≤x≤kπ+$\frac{7π}{12}$，k∈N，
所以使不等式f（x）≥2成立的x的取值集合为[kπ$+\frac{π}{12}$，k$π+\frac{7π}{12}$]，k∈N．

点评 本题考查了平面向量的运算、三角函数的恒等变形以及三角函数性质的运用；属于常规题．