Question

根据下列关系，求各个数列{a_n}的通项公式：
（1）a₁=4，a_n+1=

n+1

n+3

 a_n；
（2）a₁=2，a_n-1-a_n=2a_na_n-1．

Answer 1

考点：数列递推式

专题：综合题,点列、递归数列与数学归纳法

分析：（1）由a_n+1=

n+1

n+3

 a_n，可得

an+1

an

=

n+1

n+3

 ，利用叠乘法，可求数列的通项；
（2）取倒数，可得{

1

an

}是以

1

2

为首项，2为公差的等差数列，可求数列{a_n}的通项．

解答： 解：（1）∵a_n+1=

n+1

n+3

 a_n，
∴

an+1

an

=

n+1

n+3

 ，
∴a_n=a₁•

a2

a1

•…•

an

an-1

=4•

2

4

•

3

5

•…•

n

n+2

=

24

(n+1)(n+2)

；
（2）∵a_n-1-a_n=2a_na_n-1，
∴

1

an

-

1

an-1

=2，
∵a₁=2，
∴{

1

an

}是以

1

2

为首项，2为公差的等差数列，
∴

1

an

=

1

2

+2（n-1）=

4n-3

2

，
∴a_n=

2

4n-3

．

点评：本题考查数列递推式，考查等差数列的判断，考查叠乘法，正确选用求数列通项的方法是关键．