Question

6．已知函数f（x）在定义域R上满足f（-x）-f（x），当x∈[0，2]时，f（x）=-x²+2x；当x∈（2，+∞）时，f（x）=2x-4．
（1）求f（x）的解析式；
（2）若x≥0解关于x的不等式f（x+1）＞f（x）．

Answer 1

分析 （1）由题意：定义域R上满足f（-x）=-f（x），可知函数f（x）是奇函数，根据当x∈[0，2]时，f（x）=-x²+2x；当x∈（2，+∞）时，f（x）=2x-4．即可求f（x）的在定义域R上解析式
（2）根据（1）的解析式定义域范围，当x≥0时，讨论，再解关于x的不等式f（x+1）＞f（x）即可．

解答 解：（1）由题意：定义域R上满足f（-x）=-f（x），可知函数f（x）是奇函数，
当x∈[0，2]时，即0≤x≤2时，f（x）=-x²+2x；
那么：-2≤x≤0时，则0≤-x≤2，f（-x）=-x^2-2x=-f（x），
∴f（x）=x²+2x；
当x∈（2，+∞）时，即：x＞2时，f（x）=2x-4．
那么：x＜-2时，则-x＞2，f（-x）=-2x-4=-f（x），
∴f（x）=2x+4；
故得f（x）的在定义域R上解析式为：f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{2x-4，（x＞2）}\\{-{x}^{2}+2x，（0≤x≤2）}\\{{x}^{2}+2x，（-2≤x＜0）}\\{2x+4，（x＜-2）}\end{array}\right.$
（2）∵x≥0，
∴f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{2x-4，（x＞2）}\\{-{x}^{2}+2x，（0≤x≤2）}\end{array}\right.$
当x＞2时，不等式f（x+1）＞f（x）等价于：x+1＞x，
解得：x＞2，
当0≤x≤x+1≤2时，不等式f（x+1）＞f（x）等价于：-（x+1）²+2（x+1）＞-x²+2x，
解得：$0≤x＜\frac{1}{2}$，
当0≤x≤2≤x+1时，不等式f（x+1）＞f（x）等价于：2（x+1）-4＞-x²+2x，
解得：$\sqrt{2}＜x≤2$，
综上所得：当x≥0时，不等式f（x+1）＞f（x）的解集为：[0，$\frac{1}{2}$）∪（$\sqrt{2}$，+∞）．

点评 本题考查了分段函数的解析式的求法，分段函数在不等式中的讨论的运用．属于中档题．