Question

14．设F为抛物线x²=-4y的焦点，该抛物线在点P（-4，-4）处的切线与x轴的交点为Q，则三角形PFQ的外接圆方程为（x+2）²+（y+$\frac{5}{2}$）²=$\frac{25}{4}$．

Answer 1

分析 确定抛物线的焦点与在点P（-4，-4）处的切线，求出Q的坐标，再利用PQ⊥QF，即可求得△PFQ的外接圆的方程．

解答 解：抛物线y=$-\frac{1}{4}$x²的焦点F（0，-1），
求导函数可得y′=-$\frac{1}{2}$x，当x=-4时，y′=-$\frac{1}{2}$×（-4）=2，
∴抛物线在点P（-4，-4）处的切线为y+4=2（x+4），即2x-y+4=0，
令y=0，可得x=-2，∴Q（-2，0），
∵k_QF=-$\frac{1}{2}$，k_PQ=2，
∴PQ⊥QF，
∴△PFQ的外接圆的直径为PF，
∵P（-4，-4）、F（0，-1），
∴圆心坐标为（-2，-$\frac{5}{2}$），半径为$\frac{5}{2}$，
∴△PFQ的外接圆的方程为（x+2）²+（y+$\frac{5}{2}$）²=$\frac{25}{4}$，
故答案为：（x+2）²+（y+$\frac{5}{2}$）²=$\frac{25}{4}$．

点评 本题考查抛物线的性质与切线，考查三角形的外接圆，解题的关键是求出抛物线的切线，确定三角形三个顶点的坐标．