题目内容
如图，在三棱锥P-ABC中，平面PAC⊥平面ABC，∠BAC=60°，E，F分别是AP，AC的中点，点D在棱AB上，且AD=AC．求证：（1）EF∥平面PBC；
（2）平面DEF⊥平面PAC．
考点：平面与平面垂直的判定,直线与平面平行的判定
专题：空间位置关系与距离
分析：（1）利用三角形中位线定理推导出EF∥PC，由此能证明EF∥平面PBC．
（2）由已知条件推导出△ACD为正三角形，DF⊥AC，从而得到DF⊥平面PAC，由此能证明平面DEF⊥平面PAC．
（2）由已知条件推导出△ACD为正三角形，DF⊥AC，从而得到DF⊥平面PAC，由此能证明平面DEF⊥平面PAC．
解答：
证明：（1）在△PAC中，因为E，F分别是AP，AC的中点，
所以EF∥PC．…（2分）
又因为EF?平面PBC，PC?平面PBC，
所以EF∥平面PBC．…（5分）
（2）连结CD．因为∠BAC=60°，AD=AC，
所以△ACD为正三角形．
因为F是AC的中点，所以DF⊥AC．…（7分）
因为平面PAC⊥平面ABC，DF?平面ABC，
平面PAC∩平面ABC=AC，
所以DF⊥平面PAC． …（11分）
因为DF?平面DEF，
所以平面DEF⊥平面PAC．…（14分）
所以EF∥PC．…（2分）
又因为EF?平面PBC，PC?平面PBC，
所以EF∥平面PBC．…（5分）
（2）连结CD．因为∠BAC=60°，AD=AC，
所以△ACD为正三角形．
因为F是AC的中点，所以DF⊥AC．…（7分）
因为平面PAC⊥平面ABC，DF?平面ABC，
平面PAC∩平面ABC=AC，
所以DF⊥平面PAC． …（11分）
因为DF?平面DEF，
所以平面DEF⊥平面PAC．…（14分）
点评：本题考查直线与平面平行的证明，考查平面与平面垂直的证明，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．
练习册系列答案
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