Question

1．设$f（x）=kx+m，g（x）=lnx-\frac{1}{x}$．
（1）若函数f（x）-g（x）在区间（0，+∞）上减函数，求k的取值范围；
（2）当k=2时，若函数f（x）的图象是函数g（x）的图象的切线，求m的值．

Answer 1

分析 （1）由题意可得f′（x）-g′（x）≤0在区间（0，+∞）上恒成立．即k≤$\frac{1}{x}$+$\frac{1}{{x}^{2}}$（x＞0）恒成立，有二次函数的值域，即可得到所求k的范围；
（2）由题意可得y=2x+m为g（x）=lnx-$\frac{1}{x}$的切线，设切点为（x₀，y₀），求出导数，切线的斜率，解方程可得切点，进而得到m的值．

解答 解：（1）函数f（x）-g（x）在区间（0，+∞）上减函数，
即为f′（x）-g′（x）≤0在区间（0，+∞）上恒成立．
即k≤$\frac{1}{x}$+$\frac{1}{{x}^{2}}$（x＞0）恒成立，
由$\frac{1}{x}$+$\frac{1}{{x}^{2}}$=（$\frac{1}{x}$+$\frac{1}{2}$）²-$\frac{1}{4}$＞0，可得k≤0，
即有k的取值范围（-∞，0]；
（2）由题意可得y=2x+m为g（x）=lnx-$\frac{1}{x}$的切线，
设切点为（x₀，y₀），g′（x）=$\frac{1}{x}$+$\frac{1}{{x}^{2}}$，
即有$\frac{1}{{x}_{0}}$+$\frac{1}{{{x}_{0}}^{2}}$=2，解得x₀=1（负的舍去），
y₀=ln1-1=-1，
即有m=y₀-2x₀=-1-2=-3．

点评 本题考查导数的运用：求切线的斜率和单调性，考查不等式恒成立问题的解法，注意运用参数分离，考查运算能力，属于中档题．