Question

16．已知椭圆E：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）经过点（$\sqrt{2}$，$\sqrt{3}$），左焦点F（-c，0）到直线bx+ay=0的距离为$\frac{\sqrt{3}b}{3}$．
（1）求椭圆E的方程；
（2）直线l过点F，与椭圆E交于不同两点A，B，椭圆E的右焦点为F′，求当△ABF′面积最大时直线l的方程．

Answer 1

分析 （1）由题意得$\left\{\begin{array}{l}{\frac{2}{{a}^{2}}+\frac{3}{{b}^{2}}=1}\\{\frac{|-cb+0|}{\sqrt{{b}^{2}+{a}^{2}}}=\frac{\sqrt{3}}{3}b}\\{{a}^{2}={b}^{2}+{c}^{2}}\end{array}\right.$，解方程组即可；
（2）由（1）知F（-2，0），F′（2，0），设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）；分直线AB的斜率是否存在进行讨论，从而确定△ABF′面积的最大值时的直线l的方程．

解答 解：（1）由题意得，
$\left\{\begin{array}{l}{\frac{2}{{a}^{2}}+\frac{3}{{b}^{2}}=1}\\{\frac{|-cb+0|}{\sqrt{{b}^{2}+{a}^{2}}}=\frac{\sqrt{3}}{3}b}\\{{a}^{2}={b}^{2}+{c}^{2}}\end{array}\right.$，
解得，b²=4，c²=4，a²=8；
故椭圆E的方程为$\frac{{x}^{2}}{8}$+$\frac{{y}^{2}}{4}$=1；
（2）由（1）知，F（-2，0），F′（2，0）；设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）；
①当直线AB的斜率k不存在时，l：x=-2，
解$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{x}^{2}}{8}+\frac{{y}^{2}}{4}=1}\\{x=-2}\end{array}\right.$得，
y₁=$\sqrt{2}$，y₂=-$\sqrt{2}$；
故S_△ABF′=$\frac{1}{2}$|FF′|•|y₁-y₂|
=$\frac{1}{2}$×4×2$\sqrt{2}$=4$\sqrt{2}$；
当直线AB的斜率存在时，易知斜率不为0，
设l的方程为：x=ay-2；
由$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{x}^{2}}{8}+\frac{{y}^{2}}{4}=1}\\{x=ay-2}\end{array}\right.$可得，（a²+2）y²-4ay-4=0，
故y₁+y₂=$\frac{4a}{{a}^{2}+2}$，y₁y₂=-$\frac{4}{{a}^{2}+2}$；
故（y₁-y₂）²=（$\frac{4a}{{a}^{2}+2}$）²+4$\frac{4}{{a}^{2}+2}$=$\frac{16{a}^{2}+16（{a}^{2}+2）}{（{a}^{2}+2）^{2}}$
=32（-$\frac{1}{（{a}^{2}+2）^{2}}$+$\frac{1}{{a}^{2}+2}$）＜8，
故S_△ABF′=$\frac{1}{2}$|FF′|•|y₁-y₂|＜$\frac{1}{2}$•4•$2\sqrt{2}$=4$\sqrt{2}$；
故当△ABF′面积最大时直线l的方程为x=-2．

点评 本题考查了椭圆的方程的求法及椭圆与直线的位置关系的应用，同时考查了三角形的面积的求法及韦达定理的应用．