Question

18．设定义在[-2，2]上的奇函数f（x）在区间[0，2]上单调递减，若f（m）+f（m-1）＜0，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 根据函数为定义在[-2，2]上的奇函数，将已知不等式移项整理可得f（1-m）＞f（m）．再由f（x）在区间[0，2]上的单调性得到在[-2，2]上是减函数，由此建立关于m的不等式组并解之，即可得到实数m的取值范围．

解答 解：由f（m）+f（m-1）＜0，移项得f（m）＜-f（m-1），
∵f（x）是定义在[-2，2]上的奇函数
∴-f（m-1）=f（1-m），不等式化成f（1-m）＞f（m）．?（4分）
又∵f（x）在[0，2]上为减函数，且f（x）在[-2，2]上为奇函数，
∴f（x）在[-2，2]上为减函数．（6分）
因此，$\left\{\begin{array}{l}{1-m＜m}\\{-2≤1-m≤2}\\{-2≤m≤2}\end{array}\right.$，解之得$（{\frac{1}{2}，2}]$．
综上所述，可得m的取值范围为$（{\frac{1}{2}，2}]$．

点评 本题给出抽象函数的单调性和奇偶性，求解关于m的不等式，着重考查了函数的单调性、奇偶性和抽象函数的理解等知识，属于基础题．