Question

16．已知PC为球O的直径，A、B是球面上两点，且AB=2，∠APC=∠BPC=$\frac{π}{4}$，若球O的表面积是16π，则三棱锥P-ABC的体积是（　　）

• A． $\frac{4\sqrt{3}}{3}$
• B． $4\sqrt{3}$
• C． $\frac{{2\sqrt{3}}}{3}$
• D． $2\sqrt{3}$

Answer 1

分析 由题意知OP=OC=OA=OB=4，∠APC=∠BPC=∠ACP=∠BCP=$\frac{π}{4}$，∠PAC=∠PBC=$\frac{π}{2}$，AO⊥PC，BO⊥PC，即可求出棱锥A-PBC的体积．

解答 解：如图，由题意球O的表面积为16π，可得球的半径为：2，
知OP=OC=OA=OB=AB=2，
∠APC=∠BPC=∠ACP=∠BCP=$\frac{π}{4}$，∠PAC=∠PBC=$\frac{π}{2}$，
AO⊥PC，BO⊥PC，
∴PC⊥平面AOB，
BP=BC=2$\sqrt{2}$，
∴S_△PBC=$\frac{1}{2}×2\sqrt{2}×2\sqrt{2}$=4，
取BO中点D，连结AD，则AD⊥BO，
又PC⊥面AOB，AD?平面AOB，
∴AD⊥PC，
又BO∩PC=O，
∴AD⊥平面BPC，
∵AD=$\sqrt{3}$，
∴棱锥A-PBC的体积V=$\frac{1}{3}×4×\sqrt{3}$=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$．
故选：A．

点评 本题考查三棱锥的体积的求法，考查学生的计算能力，是中档题，解题时要认真审题，注意球的性质的合理运用．