Question

6．已知直线l₁：y=k（x+1）-1（k∈R）
（Ⅰ）证明：直线l₁过定点；
（Ⅱ）若直线l₁与直线l₂：3x-（k-2）y+2=0平行，求k的值并求此时两直线间的距离．

Answer 1

分析 （1）由直线l₁：y=k（x+1）-1（k∈R），令x=-1，可得y=-1，即可证明．
（2）直线l₁与直线l₂：3x-（k-2）y+2=0平行，可得$\frac{3}{k-2}=k$，解出并验证即可得出．

解答 （1）证明：由直线l₁：y=k（x+1）-1（k∈R），令x=-1，可得y=-1，
∴直线l₁过定点（-1，-1）．
（2）解：∵直线l₁与直线l₂：3x-（k-2）y+2=0平行，
∴$\frac{3}{k-2}=k$，解得：k=-1 或k=3，
经检验k=-1 满足条件，此时两直线分别为：y=-x-2，y=-x-$\frac{2}{3}$，
∴此时两直线间的距离d=$\frac{|-2-（-\frac{2}{3}）|}{\sqrt{2}}$=$\frac{{2\sqrt{2}}}{3}$．

点评 本题考查了直线经过定点问题、平行线的性质及其真假的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．