Question

8．已知△ABC的三个内角A、B、C所对的边的长分别为a、b、c，设向量$\overrightarrow m$=（a-c，a-b），$\overrightarrow n$=（a+b，c），且$\overrightarrow m$∥$\overrightarrow n$，
（1）求B；
（2）若a=1，b=$\sqrt{7}$，求△ABC的面积．

Answer 1

分析 （1）由$\overrightarrow m$∥$\overrightarrow n$，可得（a-b）（a+b）=（a-c）c，化为：a²+c²-b²=ac，利用余弦定理即可得出．
（2）由余弦定理可得：b²=a²+c²-2accosB，解得c，再利用三角形面积计算公式即可得出．

解答 解：（1）∵$\overrightarrow m$∥$\overrightarrow n$，∴（a-b）（a+b）=（a-c）c，化为：a²+c²-b²=ac，
∴cosB=$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-{b}^{2}}{2ac}$=$\frac{ac}{2ac}$=$\frac{1}{2}$，
B∈（0，π），解得B=$\frac{π}{3}$．
（2）由余弦定理可得：b²=a²+c²-2accosB，
∴7=1+c²-2c×$\frac{1}{2}$，化为：c²-c-6=0，解得c=3．
∴S_△=$\frac{1}{2}acsinB$=$\frac{1}{2}×1×3×sin\frac{π}{3}$=$\frac{3\sqrt{3}}{4}$．

点评 本题考查了余弦定理、三角形面积计算公式、向量共线定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．