已知F1.F2为椭圆C:$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1的左.右焦点.M为椭圆C的上顶点.且|MF1|=2.右焦点与右顶点的距离为1．(1)求椭圆C的标准方程,(2)若直线l与椭圆C相交于A.B两点.且直线OA.OB的斜率kOA.kOB满足kOA•kOB=-$\frac{3}{4}$.求△AOB的� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

11．已知F₁，F₂为椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的左、右焦点，M为椭圆C的上顶点，且|MF₁|=2，右焦点与右顶点的距离为1．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）若直线l与椭圆C相交于A，B两点，且直线OA，OB的斜率k_OA，k_OB满足k_OA•k_OB=-$\frac{3}{4}$，求△AOB的面积．

分析（1）由椭圆的性质，|MF₁|=2，即a=2，a-c=1，即可求得c=1，b²=3，即可求得椭圆的方程；
（2）当直线l斜率不存在时，k_OA•k_OB=-$\frac{3}{4}$，求得A和B点坐标，利用三角形面积公式，即可求得△AOB的面积，当直线l的斜率存在，设出直线l的方程，将直线l的方程代入椭圆方程，消去y得到关于x的一元二次方程，根据韦达定理求得x₁+x₂和x₁•x₂，根据斜率公式求得表示出k_OA•k_OB，由点到直线距离公式及三角形面积公式，即可求得△AOB的面积，综上即可求得△AOB的面积．

解答解：（1）由题意得，a=2，a-c=1，得c=1，a²=b²+c²，
∴b²=3，
∴椭圆的方程为$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$，…（3分）
（2）①当直线l的斜率不存在时，设l：x=n，不妨取A（n，$\sqrt{3（1-\frac{{n}^{2}}{4}）}$），B（n，-$\sqrt{3（1-\frac{{n}^{2}}{4}）}$），
由k_OA•k_OB=-$\frac{3}{4}$，解得n²=2．
此时，S_△AOB=$\frac{1}{2}$丨AB丨•丨n丨=$\sqrt{3}$，…（5分）
②当直线l的斜率存在时，设l：y=kx+m，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1}\\{y=kx+m}\end{array}\right.$，消去y化简得：（3+4k²）x²+8kmx+4m²-12=0，
由韦达定理可知x₁+x₂=-$\frac{8km}{3+4{k}^{2}}$，x₁•x₂=$\frac{4{m}^{2}-12}{3+4{k}^{2}}$，△＞0得4k²-m²+3＞0…（7分）
k_OA•k_OB=-$\frac{3}{4}$，$\frac{{y}_{1}y2}{{x}_{1}{x}_{2}}$=-$\frac{3}{4}$，即：3x₁•x₂+4y₁•y₂=0，
即：3x₁•x₂+4（kx₁+m）（kx₂+m）=0，
即：（3+4k²）x₁•x₂+4km（x₁+m₂）+4m²=0，
化简整理得：3+4k²=2m²，…（9分）
由弦长公式得：丨AB丨=$\sqrt{（1+{k}^{2}）}$•$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$，
=$\sqrt{1+{k}^{2}}$•$\sqrt{\frac{48（4{k}^{2}-{m}^{2}+3）}{（3+4{k}^{2}）^{2}}}$，
O到直线y=kx+m的距离d=$\frac{丨m丨}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$，则：
S_△AOB=$\frac{1}{2}$丨AB丨•d=$\sqrt{\frac{12（4{k}^{2}+3-{m}^{2}）}{（3+4{k}^{2}）^{2}}}$丨m丨，
=$\sqrt{\frac{12（2{m}^{2}-{m}^{2}）}{（2{m}^{2}）^{2}}}$•丨m丨，
=$\sqrt{3}$． …（11分）
综上所述，S_△AOB=$\sqrt{3}$． …（12分）

点评本题考查了椭圆的标准方程，考查了直线和圆锥曲线的关系，该题思路清晰，运算复杂，考查了学生的运算能力．属难题．

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