Question

已知C₁：y=x²+2x和C₂：y=2lnx+a的公切线至少存在一条，求实数a的范围．

Answer 1

考点：利用导数研究曲线上某点切线方程

专题：计算题,导数的概念及应用

分析：设与C₁的切点为（m，n），与C₂的切点为（s，t），分别求出导数得到切线的斜率再由两点的斜率公式得到2m+2=

2

s

=

n-t

m-s

=

m2+2m-(2lns+a)

m-s

，化简得，a-2ln（m+1）-m²-2m=-2m²-2m+2，即有a=2ln（m+1）-m²+2，求出右边的最值即可．

解答： 解：设与C₁的切点为（m，n），与C₂的切点为（s，t），
则对于C₁，y′=2x+2，斜率为2m+2，
对于C₂，y′=

2

x

，斜率为

2

s

．
则由题意得，2m+2=

2

s

=

n-t

m-s

=

m2+2m-(2lns+a)

m-s

，
化简得，a-2ln（m+1）-m²-2m=-2m²-2m+2，
即有a=2ln（m+1）-m²+2，
令f（m）=2ln（m+1）-m²+2，（m＞-1），
则f′（m）=

2

m+1

-2m=0，得m=

5 -1

2

（负根舍去），
由于导数f′（m）在m=

5 -1

2

处附近左正右负，为极大值点，也为最大值点，
且最大值为2ln

5 +1

2

+

5 +1

2

，
故a≤2ln

5 +1

2

+

5 +1

2

，
则a的取值范围为（-∞，2ln

5 +1

2

+

5 +1

2

]．

点评：本题考查导数的运用：求切线的斜率和求极值、最值，考查化简整理的运算能力，属于中档题．