Question

已知函数f（x）=2

3

sinxcosx+2cos²x-1．
（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期及减区间；
（Ⅱ）当x∈[0，

π

2

]时，求函数f（x）的最值，及取得最值时自变量x的值．

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用,三角函数的周期性及其求法

专题：三角函数的图像与性质

分析：（Ⅰ）首先，化简函数解析式，然后，结合正弦函数的单调性确定单调区间；
（Ⅱ）首先，根据x∈[0，

π

2

]，然后，得到

π

6

≤2x+

π

6

≤

7π

6

，再结合正弦函数的单调性求解其最值．

解答： 解：（Ⅰ）f(x)=

3

sin2x+cos2x=2sin(2x+

π

6

)----（2分）
∴T=π，-----（3分）
当2kπ+

π

2

≤2x+

π

6

≤2kπ+

3π

2

，k∈Z 时，
即kπ+

π

6

≤x≤kπ+

2π

3

，k∈Z时，
f（x）为减函数-----（5分）
∴y=f（x）减区间为[kπ+

π

6

，kπ+

2π

3

]，k∈Z-----（6分）；
（Ⅱ）当0≤x≤

π

2

时，
则

π

6

≤2x+

π

6

≤

7π

6

------（8分）
当2x+

π

6

=

π

2

，即x=

π

6

时，函数有最大值，
最大值为f（x）_max=2；--------（10分）
当2x+

π

6

=

7π

6

，即x=

π

2

时，函数有最小值，
最小值为f（x）_min=-1------（12分）

点评：本题综合考查了三角函数公式、三角恒等变换公式的灵活运用，属于中档题．