Question

【题目】设为给定的大于2的正整数，集合，已知数列：，，…，满足条件：

①当时，；

②当时，.

如果对于，有，则称为数列的一个逆序对.记数列的所有逆序对的个数为.

（1）若，写出所有可能的数列；

（2）若，求数列的个数；

（3）对于满足条件的一切数列，求所有的算术平均值.

Answer 1

【答案】（1）不同的分别为：；（2）；（3）.

【解析】

（1）根据可列出满足条件的.

（2）就构成逆序对的元素的个数分类计数可得满足条件的的个数.

（3）引进一个定义：，有，则称为数列的一个顺序对，可证明所有的中，逆序对的总数和顺序对的总数相等，从而可得逆序对的个数为，故可求其平均值.

（1）因为， 故只有一个逆序对，

则不同的分别为：.

（2）因为，故数列：，，…，有两种情况：

①2对逆序数由3个元素提供，即

，

这样的共有个.

②2对逆序数由4个元素提供，即

.

这样的共有.

综上，满足的数列的个数为.

（3）对任意的：，，…，，其逆序对的个数为，

我们引进一个定义：，有，则称为数列的一个顺序对，

则中的顺序对个数为.

考虑：，，…，与：，，…，，

中的逆序对的个数为中顺序对的个数，中顺序对的个数为中逆序对个数，

把所有的按如上形式两两分类，则可得所有的中，逆序对的总数和顺序对的总数相等，而它们的和为，故逆序对的个数为，

所以所有的算术平均值为.