Question

定义在（0，+∞）上的函数f（x），对任意的m，n∈（0，+∞）都有f（m•n）=f（m）+f（n）成立，且当x＞1时，f（x）＜0．
（1）试求f（1）的值；
（2）证明：f（

1

x

）=-f（x）对任意x∈（0，+∞）都成立；
（3）证明：f（x）在（0，+∞）上是减函数；
（4）当f（2）=-

1

2

时，解不等式f（x-3）＞-1．

Answer 1

考点：抽象函数及其应用

专题：证明题

分析：（1）直接令m=n=1，即可求出f（1）的值；
（2）令m=x，n=

1

x

，结合f（m•n）=f（m）+f（n），从而可证明结论；
（3）直接利用函数单调性的定义进行证明即可；
（4）根据f（4）=-1，可得f（x-3）＞f（4），然后利用函数的单调性进行求解即可．

解答： 解：（1）∵f（m•n）=f（m）+f（n）对任意的m，n∈（0，+∞）都成立，
∴令m=n=1得，f（1）=2f（1）∴f（1）=0，
（2）由题意及（1）可知，f(

1

x

)+f(x)=f(

1

x

•x)=f(1)=0，
∴f(

1

x

)=-f(x)；
（3）证明：任取x₁，x₂∈（0，+∞），且x₁＜x₂，
则f(x2)-f(x1)=f(x2)+f(

1

x1

)=f(

x2

x1

)，
且

x2

x1

＞1，而当x＞1时，f（x）＜0∴f(

x2

x1

)＜0，
即f（x₂）-f（x₁）＜0∴f（x₂）＜f（x₁），
即函数f（x）在（0，+∞）上是减函数；
（4）当f(2)=-

1

2

时，f（4）=f（2×2）=f（2）+f（2）=-1 
∴原不等式可化为   f（x-3）＞f（4）由（3）知，0＜x-3＜4，
解得：3＜x＜7∴原不等式 的解集为（3，7）．

点评：本题考点是抽象函数及其应用，考查灵活赋值求值的能力以及灵活变形证明函数单调性的能力．