题目内容
（2009•孝感模拟）已知向量
=（
cos x，0），
=（0，sin x），记函数f（x）=（
+
）2+
sin 2x，
（1）求函数f（x）的最小值及取最小值x的集合；
（2）若将函数f（x）的图象按向量
平移后，得到的图象关于坐标原点中心对称且在[0，
]上单调递减，求长度最小的
．
| a |
| 3 |
| b |
| a |
| b |
| 3 |
（1）求函数f（x）的最小值及取最小值x的集合；
（2）若将函数f（x）的图象按向量
| d |
| π |
| 4 |
| d |
分析：（1）根据平面向量数量积的运算，化简f（x）=2cos（2x-
）+2，再根据三角函数性质求解．
（2）设
=（m，n），先求出函数f（x） 的图象平移后对应的函数g（x），根据中心对称性求出m，n的值或表达式．再结合条件要求确定长度最小的
．
| π |
| 3 |
（2）设
| d |
| d |
解答：解：（1）∵f（x）=（
+
）2+
sin 2x=3cos2x+sin2x+
sin2x=2cos（2x-
）+2 …（3分）
∴f（x）≥0，当且仅当2x-
=2kπ+π，即x=kπ+
，k∈Z时取到等号．
∴函数f（x）的最小值是0，此时x的集合是{x|x=kπ+
，k∈Z} …（6分）
（2）设
=（m，n），函数f（x） 的图象平移后对应的函数为g（x），则g（x）=2cos[2（x-m）-
]+2+n
由题意函数g（x）的图象关于坐标原点中心对称，得
cos[2（0-m）-
]=0，且2+n=0，解得m=
kπ+
，k∈Z，且n=-2 …（8分）
①当m=kπ+
，k∈Z时，g（x）=2cos（2x-
）=2sin 2x，在[0，
]上单调递增，不符合题意，舍去；
②当m=kπ+
，k∈Z时，g（x）=2cos（2x+
）=-2sin 2x，在[0，
]上单调递减，符合题意．…（10分）
∴
=（ kπ+
，-2），k∈Z【若求出的结果是（kπ+
，-2），给（10分）】
∴长度最小的
=（-
，-2）…（12分）
| a |
| b |
| 3 |
| 3 |
| π |
| 3 |
∴f（x）≥0，当且仅当2x-
| π |
| 3 |
| 2π |
| 3 |
∴函数f（x）的最小值是0，此时x的集合是{x|x=kπ+
| 2π |
| 3 |
（2）设
| d |
| π |
| 3 |
由题意函数g（x）的图象关于坐标原点中心对称，得
cos[2（0-m）-
| π |
| 3 |
| 1 |
| 2 |
| π |
| 12 |
①当m=kπ+
| π |
| 12 |
| π |
| 2 |
| π |
| 4 |
②当m=kπ+
| 7π |
| 12 |
| π |
| 2 |
| π |
| 4 |
∴
| d |
| 7π |
| 12 |
| π |
| 12 |
∴长度最小的
| d |
| 5π |
| 12 |
点评：本题考查平面向量数量积的运算，三角函数性质，考查分析解决问题、分类讨论、计算能力．
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