题目内容
（2009•孝感模拟）已知f（x）=x3-3x，过点A（1，m） （m≠-2）可作曲线y=f（x）的三条切线，则实数m的取值范围是（ ）
分析：先设切点坐标，用导数求出切线斜率，再用斜率公式求出切线斜率，两者相等，得到含m的方程，因为过点A（1，m） （m≠-2）可作曲线y=f（x）的三条切线，所以前面所求方程有3解，再借助导数判断何时方程有3解即可．
解答：解；设切点坐标（x0，x03-3x），
∵f（x）=x3-3x，∴f′（x）=3x2-3
∴曲线y=f（x）在（x0，x03-3x）处的切线斜率为3x02-3
又∵切线过点A（1，m），∴切线斜率为
，
∴
=3x02-3
即2x03-3x02+m+3=0 ①
∵过点A（1，m） （m≠-2）可作曲线y=f（x）的三条切线，
∴方程①有3解．
令ω（x0）=2x03-3x02+m+3，则ω（x0）图象与x轴有2个交点，∴ω（x0）的极大值与极小值异号
ω′（x0）=6x02-6x0，令ω′（x0）=0，得6x0=0或1
∴ω（0）ω（1）＜0，即（m+3）（m+2）＜0
-3＜m＜-2
故选D
∵f（x）=x3-3x，∴f′（x）=3x2-3
∴曲线y=f（x）在（x0，x03-3x）处的切线斜率为3x02-3
又∵切线过点A（1，m），∴切线斜率为
| x03-3x -m |
| x0-1 |
∴
| x03-3x -m |
| x0-1 |
即2x03-3x02+m+3=0 ①
∵过点A（1，m） （m≠-2）可作曲线y=f（x）的三条切线，
∴方程①有3解．
令ω（x0）=2x03-3x02+m+3，则ω（x0）图象与x轴有2个交点，∴ω（x0）的极大值与极小值异号
ω′（x0）=6x02-6x0，令ω′（x0）=0，得6x0=0或1
∴ω（0）ω（1）＜0，即（m+3）（m+2）＜0
-3＜m＜-2
故选D
点评：本题主要考查了导数的几何意义，以及利用导数判断方程根的个数．
练习册系列答案
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