Question

14．已知实数x，y满足方程（x-2）²+（y-2）²=1．
（1）求$\frac{y-1}{x}$的取值范围；
（2）求|x+y+l|的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由题意画出图形，利用$\frac{y-1}{x}$的几何意义，即圆上动点与定点（0，1）的斜率求答案；
（2）|x+y+l|=$\sqrt{2}•\frac{|x+y+1|}{\sqrt{2}}$，$\frac{|x+y+1|}{\sqrt{2}}$的几何意义为圆上的动点到直线x+y+1=0的距离．圆心到直线的距离加上半径为最大值，圆心到直线的距离减半径长为最小值，则答案可求．

解答 解：（1）（x-2）²+（y-2）²=1表示以（2，2）为圆心，以1为半径的圆，
而$\frac{y-1}{x}$的几何意义为圆上动点与定点（0，1）的斜率，
如图，

设过（0，1）且与圆相切的直线方程为y=kx+1，即kx-y+1=0．
由圆心（2，2）到直线kx-y+1=0的距离d=$\frac{|2k-2+1|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}=1$，解得k=0或k=$\frac{4}{3}$．
∴$\frac{y-1}{x}$∈[0，$\frac{4}{3}$]；
（2）|x+y+l|=$\sqrt{2}•\frac{|x+y+1|}{\sqrt{2}}$，$\frac{|x+y+1|}{\sqrt{2}}$的几何意义为圆上的动点到直线x+y+1=0的距离．
圆心到直线的距离加上半径为最大值，圆心到直线的距离减半径长为最小值，
由此$\frac{|x+y+1|}{\sqrt{2}}$∈[$\frac{5}{\sqrt{2}}-1，\frac{5}{\sqrt{2}}+1$]，则|x+y+l|∈[5-$\sqrt{2}$，5+$\sqrt{2}$]．

点评 本题考查圆的标准方程，考查了数学转化思想方法和数形结合的解题思想方法，是中档题．