Question

3．a为实数，记函数f（x）=2|cosx|+a（$\sqrt{1+sinx}$+$\sqrt{1-sinx}$）的最大值为g（a）
（1）设t=$\sqrt{1+sinx}$+$\sqrt{1-sinx}$，求t的取值范围并把f（x）表示为t的表达式；
（2）求函数f（x）的最大值g（a）．

Answer 1

分析 （1）t²=（$\sqrt{1+sinx}$+$\sqrt{1-sinx}$）²=2+2|cosx|∈[2，4]，可得t的取值范围并把f（x）表示为t的表达式；
（2）分类讨论，即可求函数f（x）的最大值g（a）．

解答 解：（1）∵t²=（$\sqrt{1+sinx}$+$\sqrt{1-sinx}$）²=2+2|cosx|∈[2，4]．
又∵t＞0，∴t∈[$\sqrt{2}$，2]，
∴g（t）=t²-2+at，t∈[$\sqrt{2}$，2]；
（2）求函数f（x）的最大值即求g（t）=t²-2+at，t∈[$\sqrt{2}$，2]的最大值．
-$\frac{a}{2}$≤$\frac{\sqrt{2}+2}{2}$，g（a）=g（2）=2+2a；
-$\frac{a}{2}$＞$\frac{\sqrt{2}+2}{2}$，g（a）=g（$\sqrt{2}$）=$\sqrt{2}$a．

点评 本题考查函数的最值，考查换元方法的运用，考查分类讨论的数学思想，属于中档题．