Question

11．四面体D-ABC中，BA，BC，BD两两垂直，且AB=BC=2，二面角D-AC-B的大小为60°，则四面体D-ABC的体积是（　　）

• A． $\frac{{2\sqrt{3}}}{3}$
• B． $2\sqrt{3}$
• C． $\frac{{2\sqrt{6}}}{3}$
• D． $2\sqrt{6}$

Answer 1

分析 取AC中点E，连结BE、DE，则∠BED=60°，由此求出BD=$\sqrt{6}$，从而能求出四面体D-ABC的体积．

解答 解：如图，∵面体D-ABC中，BA，BC，BD两两垂直，且AB=BC=2，
∴BD⊥平面ABC，
取AC中点E，连结BE、DE，则BE⊥AC，∴DE⊥AC，
∴∠BED是二面角D-AC-B的平面角，
∵二面角D-AC-B的大小为60°，∴∠BED=60°，
∴∠BDE=30°，
∵BE=$\frac{1}{2}\sqrt{4+4}$=$\sqrt{2}$，（2BE）²=BE²+BD²，
解得BD=$\sqrt{6}$，
∴四面体D-ABC的体积：
V=$\frac{1}{3}×{S}_{△ABC}×DB$=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×2×2×\sqrt{6}$=$\frac{2\sqrt{6}}{3}$．
故选：C．

点评 本题考查四面体的体积的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．