Question

20．如图，在等腰梯形ABCD中，CD=2AB=2EF=2a，E，F分别是底边AB，CD的中点，把四边形BEFC沿直线EF折起，使得平面BEFC⊥平面ADFE．若动点P∈平面ADFE，设PB，PC与平面ADFE所成的角分别为θ₁，θ₂（θ₁，θ₂均不为0）．若θ₁=θ₂，则动点P的轨迹围成的图形的面积为（　　）

• A． $\frac{1}{4}{a^2}$
• B． $\frac{4}{9}{a^2}$
• C． $\frac{1}{4}π{a^2}$
• D． $\frac{4}{9}π{a^2}$

Answer 1

分析 先确定PE=$\frac{1}{2}$PF，再以EF所在直线为x轴，EF的垂直平分线为y轴建立坐标系，求出轨迹方程，即可得出结论．

解答 解：由题意，PE=BEcotθ₁，PF=CFcotθ₂，
∵BE=$\frac{1}{2}$CF，θ₁=θ₂，
∴PE=$\frac{1}{2}$PF．
以EF所在直线为x轴，EF的垂直平分线为y轴建立坐标系，
设E（-$\frac{a}{2}$，0），F（$\frac{a}{2}$，0），P（x，y），则
（x+$\frac{a}{2}$）²+y²=$\frac{1}{4}$[（x-$\frac{a}{2}$）²+y²]，
∴3x²+3y²+5ax+$\frac{3}{4}$a²=0，即（x+$\frac{5}{6}$a）²+y²=$\frac{4}{9}$a²，轨迹为圆，面积为$\frac{4}{9}π{a}^{2}$．
故选：D．

点评 本题考查轨迹方程，考查学生的计算能力，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．