Question

2．函数f（x）=$\sqrt{x}$在x=1处的切线l方程是x-2y+1=0，以直线l与y轴的交点为焦点的抛物线标准方程是x²=2y．

Answer 1

分析 根据题意，对函数f（x）=$\sqrt{x}$求导可得其导数，由导数的几何意义可得函数f（x）=$\sqrt{x}$在x=1处的切线l方程的斜率k，再求得f（1）的值，即可得切点的坐标，由直线的点斜式方程可得其切线的方程，进而可得直线与y轴交点的坐标，由抛物线的标准方程计算可得答案．

解答 解：根据题意，对于函数f（x）=$\sqrt{x}$=${x}^{\frac{1}{2}}$，有y′=$\frac{1}{2\sqrt{x}}$，
则函数f（x）=$\sqrt{x}$在x=1处的切线l方程的斜率k=$\frac{1}{2×\sqrt{1}}$=$\frac{1}{2}$，
又由函数f（x）=$\sqrt{x}$，则f（1）=1，即切点的坐标为（1，1），
则有函数f（x）=$\sqrt{x}$在x=1处的切线l方程：y-1=$\frac{1}{2}$（x-1），即x-2y+1=0；
对于直线x-2y+1=0，其与y轴的交点为（0，$\frac{1}{2}$），
以（0，$\frac{1}{2}$）为焦点的抛物线中必有p=2×$\frac{1}{2}$=1，焦点在y轴上，
则其标准方程为：x²=2y；
故答案为：x-2y+1=0，x²=2y．

点评 本题考查抛物线的几何性质，涉及函数的切线的求法，关键是求出函数的切线的方程．