Question

19．已知函数f（x）=2lnx-x²，若方程f（x）+m=0在$[{\frac{1}{e}，e}]$内有两个不等的实根，则实数m的取值范围是$（{1，2+\frac{1}{e^2}}]$．

Answer 1

分析 转化方程为函数，通过求解函数的最值，转化求解m的范围即可．

解答 解：函数f（x）=2lnx-x²，若方程f（x）+m=0在$[{\frac{1}{e}，e}]$内有两个不等的实根，
即函数f（x）=2lnx-x²，与y=-m在$[{\frac{1}{e}，e}]$内有两个不相同的交点，
f′（x）=$\frac{2}{x}$-2x，令$\frac{2}{x}$-2x=0可得x=±1，当x∈[$\frac{1}{e}$，1）时f′（x）＞0，函数是增函数，当x∈（1，e）时，f′（x）＜0，函数是减函数，
函数的最大值为：f（1）=-1，f（$\frac{1}{e}$）=-2-$\frac{1}{{e}^{2}}$，f（e）=2-e²．函数的最小值为：2-e²．
方程f（x）+m=0在$[{\frac{1}{e}，e}]$内有两个不等的实根，只需：-2-$\frac{1}{{e}^{2}}≤-m＜-1$，
解得m∈$（{1，2+\frac{1}{e^2}}]$．
故答案为：$（{1，2+\frac{1}{e^2}}]$．

点评 本题考查函数的导数的应用，函数的最值的求法，考查数形结合以及转化思想的应用．