题目内容
在某地区的足球比赛中，记甲、乙、丙、丁为同一小组的四支队伍，比赛采用单循环制（每两个队比赛一场），并规定小组积分前两名的队出线，其中胜一场积3分，平一场积1分，负一场积0分．由于某些特殊原因，在经过三场比赛后，目前的积分状况如下：甲队积7分，乙队积1分，丙和丁队各积0分．根据以往的比赛情况统计，乙队胜或平丙队的概率均为
，乙队胜、平、负丁队的概率均为
，且四个队之间比赛结果相互独立．
（Ⅰ）求在整个小组赛中，乙队最后积4分的概率；
（Ⅱ）设随机变量 X为整个小组比赛结束后乙队的积分，求随机变量 X的分布列与数学期望；
（Ⅲ）在目前的积分情况下，M同学认为：乙队至少积4分才能确保出线，N同学认为：乙队至少积5分才能确保出线．你认为谁的观点对？或是两者都不对？（直接写结果，不需证明）
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（Ⅰ）求在整个小组赛中，乙队最后积4分的概率；
（Ⅱ）设随机变量 X为整个小组比赛结束后乙队的积分，求随机变量 X的分布列与数学期望；
（Ⅲ）在目前的积分情况下，M同学认为：乙队至少积4分才能确保出线，N同学认为：乙队至少积5分才能确保出线．你认为谁的观点对？或是两者都不对？（直接写结果，不需证明）
考点：离散型随机变量及其分布列,离散型随机变量的期望与方差
专题：概率与统计
分析：（I）设乙队胜或平丙队的事件分别A1，A2，A3，乙队胜、平、负丁队的事件分别B1，B2，B3，则P（A1）=P（A2）=
，P（A3）=
，P（Bi）=
（i=1，2，3）．设乙队最后积4分为事件C，则P（C）=P（A1）P（B3）+P（A3）P（B1）．
（II）随机变量ξ的可能取值为：7，5，4，3，2，1．P（X=7）=P（A1）P（B1），P（X=5）=P（A1）P（B2）+P（A2）P（B1），P（X=4）=
，P（X=3）=P（A2）P（B2），P（X=2）=P（A2）P（B3）+P（A3）P（B2），P（X=1）=P（A3）P（B3）．
即可得到随机变量X的分布列及其数学期望．
（III）N同学的观点对，乙队至少积5分才可以出线．当乙队积5分时，丙队或丁队的可能积分为4，3，2，1，0．当乙队积4分时，丙队或丁队的可能积分为6或4．即可判断出．
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（II）随机变量ξ的可能取值为：7，5，4，3，2，1．P（X=7）=P（A1）P（B1），P（X=5）=P（A1）P（B2）+P（A2）P（B1），P（X=4）=
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即可得到随机变量X的分布列及其数学期望．
（III）N同学的观点对，乙队至少积5分才可以出线．当乙队积5分时，丙队或丁队的可能积分为4，3，2，1，0．当乙队积4分时，丙队或丁队的可能积分为6或4．即可判断出．
解答：
解：（I）设乙队胜或平丙队的事件分别A1，A2，A3，乙队胜、平、负丁队的事件分别B1，B2，B3，
则P（A1）=P（A2）=
，P（A3）=
，P（Bi）=
（i=1，2，3）．
设乙队最后积4分为事件C，则P（C）=P（A1）P（B3）+P（A3）P（B1）=
×
+
×
=
．
（II）随机变量ξ的可能取值为：7，5，4，3，2，1．
P（X=7）=P（A1）P（B1）=
×
=
，P（X=5）=P（A1）P（B2）+P（A2）P（B1）=
×
+
×
=
，
P（X=4）=
，P（X=3）=P（A2）P（B2）=
×
=
，
P（X=2）=P（A2）P（B3）+P（A3）P（B2）=
×
+
×
=
，P（X=1）=P（A3）P（B3）=
×
=
．
可得随机变量X的分布列为：
E（X）=7×
+5×
+4×
+3×
+2×
+1×
=
．
（III）N同学的观点对，乙队至少积5分才可以出线．当乙队积5分时，丙队或丁队的可能积分为4，3，2，1，0．乙队为小组第二，可以出线．当乙队积4分时，丙队或丁队的可能积分为6或4，因此不能确保乙队出线．
则P（A1）=P（A2）=
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设乙队最后积4分为事件C，则P（C）=P（A1）P（B3）+P（A3）P（B1）=
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（II）随机变量ξ的可能取值为：7，5，4，3，2，1．
P（X=7）=P（A1）P（B1）=
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P（X=4）=
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P（X=2）=P（A2）P（B3）+P（A3）P（B2）=
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可得随机变量X的分布列为：
| X | 7 | 5 | 4 | 3 | 2 | 1 | ||||||||||||
| P（X） |
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（III）N同学的观点对，乙队至少积5分才可以出线．当乙队积5分时，丙队或丁队的可能积分为4，3，2，1，0．乙队为小组第二，可以出线．当乙队积4分时，丙队或丁队的可能积分为6或4，因此不能确保乙队出线．
点评：本题考查了古典概型的概率计算公式、互斥事件与相互独立事件的概率计算公式、随机变量的分布列及其数学期望，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
练习册系列答案
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若a＞0，b＞0，则有（ ）
A、
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B、
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C、
| ||
D、
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某班级有6名同学去报名参加校学生会的4项社团活动，若甲、乙两位同学不参加同一社团，每个社团都有人参加，每人只参加一个社团，则不同的报名方案数为（ ）
| A、4320 | B、2400 |
| C、2160 | D、1320 |
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