Question

已知函数f（x）=ax²-2x+lnx+1．
（1）若函数f（x）在其定义域内为单调递增，求实数a的取值范围；
（2）设g（x）=mx²+4mx+3，当a=1时，不等式f（x₁）≤g（x₂），x₁∈（0，1]，x₂∈（-∞，+∞）恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

考点：二次函数的性质

专题：函数的性质及应用,导数的概念及应用

分析：（1）对函数f（x）求导，令f′（x）在其定义域（0，+∞）上恒大于0即可；
（2）a=1时，f（x）在（0，1]上是增函数，且存在最大值f（1）=0，
欲使符合条件的f（x₁）≤g（x₂）恒成立，只需g（x）_min≥f（x）_max即可；
解此不等式，求出m的取值范围．

解答： 解：（1）∵函数f（x）=ax²-2x+lnx+1，x＞0，
∴f′（x）=2ax-2+

1

x

=

2ax2-2x+1

x

；
又∵函数f（x）在其定义域（0，+∞）上是单调增函数，
∴2ax²-2x+1≥0，
∴a≥

1

x

-

1

2x2

；
设t=

1

x

-

1

2x2

=-

1

2

(

1

x

-1)2+

1

2

，
当x=1时，函数t取得最大值

1

2

，
∴实数a的取值范围是[

1

2

，+∞）；
（2）当a=1时，由（1）知f（x）在（0，+∞）是单调增函数，
且x∈（0，1]，f（x）的最大值为f（1）=1-2+0+1=0；
欲使符合条件的f（x₁）≤g（x₂）恒成立，
只需对任意的x∈（-∞，+∞），g（x）_min≥f（x）_max即可；
∵g（x）=mx²+4mx+3，
∴当m=0时，g（x）=3＞0，满足条件；
当m≠0时，须

m＞0 4m•3-16m2 4m ≥0

，
解得0＜m≤

3

4

；
综上，0≤m≤

3

4

，∴实数m的取值范围是[0，

3

4

]．

点评：本题考查了二次函数的性质与应用问题，也考查了利用导数判断函数的单调性问题，考查了不等式的恒成立问题，是综合性题目．