Question

如图，将边长为2的正六边形ABCDEF沿对角线BE翻折，连接AC、FD，形成如图所示的多面体，且AC=

6

．
（1）证明：平面ABEF⊥平面BCDE；
（2）求平面ABC与平面DEF所成二面角（锐角）的余弦值．

Answer 1

考点：二面角的平面角及求法,平面与平面垂直的判定

专题：空间位置关系与距离,空间角

分析：（1）连结AC、BE，交点为G，由已知得AC⊥BE，且AG=CG=

3

，AG⊥GC，从而AG⊥平面BCDE，由此能证明平面ABEF⊥平面BCDE．
（2）以G为坐标原点，分别以GC，GE，GA所在的直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，求出平面ABC的法向量和平面DEF的一个法向量，利用向量法能求出平面ABC与平面DEF所成二面角（锐角）的余弦值．

解答： 解：（1）证明：正六边形ABCDEF中，连结AC、BE，交点为G，
∵ABCDEF是边长为2的正六边形，∴AC⊥BE，且AG=CG=

3

，
在多面体中，由AC=

6

，得AG²+CG²=AC²，
∴AG⊥GC，
又GC∩BE=G，GC，BE?平面BCDE，∴AG⊥平面BCDE，
又AG?平面ABEF，∴平面ABEF⊥平面BCDE．
（2）解：以G为坐标原点，分别以GC，GE，GA所在的直线为x轴，y轴，z轴，
建立空间直角坐标系，
由已知得AG=CG=

3

，BG=1，GE=3，
则A（0，0，

3

），B（0，-1，0），C（

3

，0，0），
D（

3

，2，0），E（0，3，0），F（0，2，

3

），

AB

=（0，-1，-

3

），

AC

=（

3

，0，-

3

），

FE

=（0，-1，

3

），

FD

=

AC

=（

3

，0，-

3

），
设平面ABC的法向量为

n

=（x，y，z），
则

n • AB =-y- 3 z=0 n • AC = 3 x- 3 z=0

，取z=1，得

n

=(1，-

3

，1)，

DE

=(-

3

，1，0)，

DF

=（-

3

，0，

3

），
设平面DEF的一个法向量为

m

=（a，b，c），
则

m • DE =- 3 a+b=0 n • DF =- 3 a+ 3 b=0

，取a=1，得

m

=（1，

3

，1），
设平面ABC与平面DEF所成二面角（锐角）为θ
cosθ=|cos＜

n

，

m

＞|=

| n • m |

| n |•| m |

=

1

5

，
∴平面ABC与平面DEF所成二面角（锐角）的余弦值为

1

5

．

点评：本题主要考查直线与平面之间的平行、垂直等位置关系，二面角的概念、求法等知识，以及空间想象能力和逻辑推理能力．