为了开展全民健身运动.市体育馆面向市民全面开放.实行收费优惠.具体收费标准如下:①锻炼时间不超过1小时.免费,②锻炼时间为1小时以上且不超过2小时.收费2元,③锻炼时间为2小时以上且不超过3小时.收费3元,④锻炼时间超过3小时的时段.按每小时3元收费(不足1小时的部分按1小时计算)已知甲.乙两人独立到体育馆锻炼一次.两人锻炼时间都不会超� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

为了开展全民健身运动，市体育馆面向市民全面开放，实行收费优惠，具体收费标准如下：
①锻炼时间不超过1小时，免费；
②锻炼时间为1小时以上且不超过2小时，收费2元；
③锻炼时间为2小时以上且不超过3小时，收费3元；
④锻炼时间超过3小时的时段，按每小时3元收费（不足1小时的部分按1小时计算）已知甲、乙两人独立到体育馆锻炼一次，两人锻炼时间都不会超过3小时，设甲、乙锻炼时间不超过1小时的概率分别是0.4和0.5，锻炼时间为1小时以上且不超过2小时的概率分别是0.5和0.3．
（Ⅰ）求甲、乙两人所付费用相同的概率；
（Ⅱ）设甲、乙两人所付费用之和为随机变量ξ，求ξ的分布列和数学期望Eξ．

考点：离散型随机变量及其分布列,离散型随机变量的期望与方差

专题：概率与统计

分析：（I）根据题意分别设甲付费0元、2元、3元为事件A₁、A₂、A₃，乙付费0元、2元、3元为事件B₁、B₂、B₃．则P（A₁）=0.4，P（A₂）=0.5，P（A₃）=0.1，P（B₁）=0.5，P（B₂）=0.3，P（B₃）=0.2．设甲、乙两人所付费用相同为事件M，则 M=A₁B₁+A₂B₂+A₃B₃，可得P（M）=P（A₁）P（B₁）+P（A₂）P（B₂）+P（A₃）P（B₃）．
（II）由题意可知：随机变量ξ的可能取值为0，2，3，4，5，6．P（ξ=0）=P（A₁）P（B₁），
P（ξ=2）=P（A₁）P（B₂）+P（A₂）P（B₁），P（ξ=3）=P（A₁）P（B₃）+P（A₃）P（B₁），P（ξ=4）=P（A₂）P（B₂），P（ξ=5）=P（A₂）P（B₃）+P（A₃）P（B₂），P（ξ=6）=P（A₃）P（B₃）．即可得出分布列及其数学期望．

解答： 解：（I）根据题意分别设甲付费0元、2元、3元为事件A₁、A₂、A₃，乙付费0元、2元、3元为事件B₁、B₂、B₃．
则P（A₁）=0.4，P（A₂）=0.5，P（A₃）=1-0.4-0.5=0.1，P（B₁）=0.5，P（B₂）=0.3，P（B₃）=1-0.5-0.3=0.2．
由题意可知：A_i与B_i相互独立，
设甲、乙两人所付费用相同为事件M，则 M=A₁B₁+A₂B₂+A₃B₃，
∴P（M）=P（A₁）P（B₁）+P（A₂）P（B₂）+P（A₃）P（B₃）=0.4×0.5+0.5×0.3+0.1×0.2=0.37．
（II）由题意可知：随机变量ξ的可能取值为0，2，3，4，5，6．P（ξ=0）=P（A₁）P（B₁）=0.4×0.5=0.2，
P（ξ=2）=P（A₁）P（B₂）+P（A₂）P（B₁）=0.4×0.3+0.5×0.5=0.37，P（ξ=3）=P（A₁）P（B₃）+P（A₃）P（B₁）=0.4×0.2+0.1×0.5=0.13，
P（ξ=4）=P（A₂）P（B₂）=0.5×0.3=0.15，P（ξ=5）=P（A₂）P（B₃）+P（A₃）P（B₂）=0.5×0.2+0.1×0.3=0.13，P（ξ=6）=P（A₃）P（B₃）=0.1×0.2=0.02．