Question

13．已知a，b∈R，且$\frac{a}{1-i}+\frac{b}{2-i}=\frac{1}{3-i}$，则数列{an+b}前100项的和为-910．

Answer 1

分析 利用复数的运算法则、复数相等可得a，b，再利用等差数列的求和公式即可得出．

解答 解：∵$\frac{a}{1-i}+\frac{b}{2-i}=\frac{1}{3-i}$，∴$\frac{a（1+i）}{（1-i）（1+i）}$+$\frac{b（2+i）}{（2-i）（2+i）}$=$\frac{3+i}{（3-i）（3+i）}$，
∴$\frac{a（1+i）}{2}$+$\frac{b（2+i）}{5}$=$\frac{3+i}{10}$，即$\frac{a}{2}$+$\frac{2b}{5}$+$（\frac{a}{2}+\frac{b}{5}）$i=$\frac{3}{10}$+$\frac{1}{10}i$，
∴$\frac{a}{2}$+$\frac{2b}{5}$=$\frac{3}{10}$，$\frac{a}{2}+\frac{b}{5}$=$\frac{1}{10}$，
解得a=-$\frac{1}{5}$，b=1．
∴an+b=$-\frac{1}{5}$n+1．
∴数列{an+b}为等差数列．
∴数列{an+b}前100项的和S₁₀₀=$\frac{100（-\frac{1}{5}×1+1-\frac{1}{5}×100+1）}{2}$=-910．
故答案为：-910．

点评 本题考查了复数的运算法则、复数相等、等差数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．