Question

2．如果函数f（x）=ax²+2x+a²-3在区间[2，4]上具有单调性，则实数a取值范围是$（{-∞，-\frac{1}{2}}]∪[-\frac{1}{4}，+∞]$．

Answer 1

分析 根据函数f（x）=ax²+2x+a²-3在区间[2，4]上具有单调性，结合二次函数和一次函数的图象和性质，对a进行分类讨论，可得答案．

解答 解：a＜0时，函数f（x）=ax²+2x+a²-3的图象是开口朝上，且以x=$-\frac{1}{a}$为对称轴的抛物线，
如果函数f（x）=ax²+2x+a²-3在区间[2，4]上具有单调性，
则$-\frac{1}{a}$≤2，或$-\frac{1}{a}$≥4，
解得：a∈$（-∞，-\frac{1}{2}]∪[-\frac{1}{4}，0）$
a=0时，f（x）=2x-3区间[2，4]上具有单调性，满足条件，
a＞0时，函数f（x）=ax²+2x+a²-3的图象是开口朝上，且以x=$-\frac{1}{a}$为对称轴的抛物线，
此时$-\frac{1}{a}$＜2恒成立，故函数f（x）=ax²+2x+a²-3在区间[2，4]上具有单调性，
综上所述，a∈$（{-∞，-\frac{1}{2}}]∪[-\frac{1}{4}，+∞]$，
故答案为：$（{-∞，-\frac{1}{2}}]∪[-\frac{1}{4}，+∞]$

点评 本题考查的知识点是二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质，是解答的关键．