Question

18．若关于x的不等式|x+a|≤b的解集为[-6，2]．
（1）求实数a，b的值；
（2）若实数m，n满足|am+n|＜$\frac{1}{3}$，|m-bn|＜$\frac{1}{6}$，求证：|n|＜$\frac{2}{27}$．

Answer 1

分析 （1）关于x的不等式|x+a|≤b的解集为[-b-a，b-a]，利用条件建立方程组，即可求实数a，b的值；
（2）利用|n|=$\frac{1}{9}$|（2m+n）-（2m-8n）|≤$\frac{1}{9}$|2m+n|+2|m-4n|，即可证明结论．

解答 （1）解：关于x的不等式|x+a|≤b的解集为[-b-a，b-a]，
∵关于x的不等式|x+a|≤b的解集为[-6，2]，
∴$\left\{\begin{array}{l}{b-a=2}\\{-b-a=-6}\end{array}\right.$，∴a=2，b=4；
（2）证明：∵实数m，n满足|am+n|＜$\frac{1}{3}$，|m-bn|＜$\frac{1}{6}$，
∴|n|=$\frac{1}{9}$|（2m+n）-（2m-8n）|≤$\frac{1}{9}$|2m+n|+2|m-4n|＜$\frac{1}{9}（\frac{1}{3}+\frac{1}{3}）$=$\frac{2}{27}$．

点评 本题考查绝对值不等式的解法，考查三角不等式的运用，属于中档题．