Question

（平行班做）给出以下四个命题：
①命题p：?x∈R，tanx=2；命题q：?x∈R，x²-x+1≥0．则命题“p且q”是真命题；
②求函数f（x）=

x2+2x-3，x≤0 -2+lnx，x＞0

的零点个数为3；
③函数y=a^x（a＞0且a≠1）与函数y=log_aa^x（a＞0且a≠1）的定义域相同；
④函数y=lg(x+

x2+1

)是奇函数．
其中正确的命题序号是

 

（把你认为正确的命题序号都填上）．

Answer 1

考点：命题的真假判断与应用

专题：函数的性质及应用

分析：①，分别判断命题p真，命题q真，从而命题“p且q”是真命题；
②，可求函数f（x）=

x2+2x-3，x≤0 -2+lnx，x＞0

在（-∞，0]与（0，+∞）每段上零点个数，即可做出正误判断；
③，函数y=a^x（a＞0且a≠1）的定义域为R，与函数y=log_aa^x（a＞0且a≠1）的定义域为R，从而可做出判断；
④，函数y=lg(x+

x2+1

)的定义域为R，易求f（-x）=-f（x），从而作出判断．

解答： 解：对于①，命题p：?x∈R，tanx=2，正确；
命题q：?x∈R，x²-x+1=（x-

1

2

）²+

3

4

≥0，正确，
则命题“p且q”是真命题，①正确；
对于②，函数f（x）=

x2+2x-3，x≤0 -2+lnx，x＞0

，
当x≤0时，由f（x）=（x+3）（x-1）=0得x=-3；
当x＞0时，f（x）=-2+lnx为增函数，f（x）=-2+lnx在（0，+∞）上只有一个零点，
故f（x）=

x2+2x-3，x≤0 -2+lnx，x＞0

的零点个数为2，②错误；
对于③，函数y=a^x（a＞0且a≠1）的定义域为R，与函数y=log_aa^x（a＞0且a≠1）的定义域为R，故二函数的定义域相同，③正确；
对于④，函数y=lg(x+

x2+1

)的定义域为R，且f（-x）+f（x）=lg[（

x2+1

+x）（

x2+1

-x）]=lg1=0，故是奇函数，④正确．
综上所述，①③④正确，
故答案为：①③④．

点评：本题考查命题的真假判断与应用，综合考查函数的单调性质、奇偶性质及函数零点的确定，属于中档题．