Question

在平面直角坐标系xOy中，直线l：ax+by+c=0被圆C：x²+y²=16截得的弦的中点为M，若a+3b-c=0．则OM²的最大值是

 

．

Answer 1

考点：直线与圆的位置关系

专题：计算题,直线与圆

分析：（1）根据直线和圆相交的性质，利用条件消去参数a，b，c，得到点M的轨迹方程，即可得出结论．

解答： 解：若直线l：ax+by+c=0被圆C：x²+y²=16截得的弦的中点为M，则满足OM⊥l，
设M（x，y），则

y

x

=

b

a

，即a=

bx

y

，
∵a+3b-c=0，
∴c=a+3b=

bx

y

+3b，
将a，c代入直线ax+by+c=0得

bx

y

x+by+

bx

y

+3b=0，
整理得x²+y²+x+3y=0，
故点M的轨迹方程为x²+y²+x+3y=0，即（x+0.5）²+（y+1.5）²=2.5
∴OM²的最大值为2.5．
故答案为：2.5

点评：本题主要考查与圆有关的轨迹问题．利用直线和圆的位置关系是解决本题的关键．