Question

11．已知公差不为0的等差数列{a_n}，等比数列{b_n}满足：a₁=b₁=1，a₂=b₂，2a₃-b₃=1．
（1）求数列{a_n}，{b_n}的通项公式；
（2）设数列{$log_3^{b_n}$}的前项和为S_n，求S_n．

Answer 1

分析 （1）根据等比数列和等差数列通项公式，列方程即可求公差和公比，即可求得数列{a_n}，{b_n}的通项公式；
（2）由题意可知：求得log₃3^n-1=n-1，根据等差数列前n项和公式，即可求得S_n．

解答 解：（1）由设等差的公差为d，首项a₁，等比数列{b_n}公比为q，首项为b₁，
则a₁=1，b₁=1，$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}+d={b}_{1}q}\\{2（{a}_{1}+2d）-{b}_{1}{q}^{2}=1}\end{array}\right.$，
即$\left\{\begin{array}{l}{1+d=q}\\{2（1+2d）-{q}^{2}=1}\end{array}\right.$，整理得：$\left\{\begin{array}{l}{d=2}\\{q=3}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{d=0}\\{q=1}\end{array}\right.$（舍去），
∴a_n=a₁+（n-1）d=2n-1，b_n=b₁q^n-1=3^n-1，
∴数列{a_n}通项公式a_n=2n-1，{b_n}的通项公式b_n=3^n-1；
（2）$log_3^{b_n}$=log₃3^n-1=n-1，
则S_n=0+1+2+…+（n-1）=$\frac{n（n-1）}{2}$，
∴S_n=$\frac{n（n-1）}{2}$．

点评 本题考查等比数列及等差数列的通项公式，考查计算能力，属于中档题．