Question

20．已知函数f（x）是定义在[-e，0）∪（0，e]上的奇函数，当x∈[-e，0）时，f（x）=ax-ln（-x）．
（Ⅰ）求f（x）的解析式；
（Ⅱ）是否存在实数a，使得当x∈（0，e]时，f（x）的最大值是-3．如果存在，求出a的值，如果不存在，说明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据函数的奇偶性求出函数f（x）的解析式即可；
（Ⅱ）求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出f（x）的最大值，得到关于a的方程，求出a的值并判断即可．

解答 解：（Ⅰ）设x∈（0，e]，则-x∈[-e，0），∴f（-x）=-ax-lnx，
又f（x）为奇函数，f（x）=-f（-x）=ax+lnx．
∴函数f（x）的解析式为$f（x）=\left\{{\begin{array}{l}{ax-ln（-x），x∈[-e，0）}\\{ax+lnx，x∈（0，e]}\end{array}}\right.$…（4分）
（Ⅱ）假设存在实数a符合题意，则当x∈（0，e]时，f（x）的最大值是-3，
当x∈（0，e]时，${f^/}（x）=a+\frac{1}{x}=\frac{ax+1}{x}$，
①当a=0时，${f^/}（x）=a+\frac{1}{x}=\frac{ax+1}{x}＞0$，
∴函数f（x）=ax+lnx是（0，e]上的增函数，
∴f（x）_max=f（e）=ae+1=1，不合题意，舍去．
②当$-\frac{1}{a}＜0⇒a＞0$时，由于x∈（0，e]．则${f^/}（x）=a+\frac{1}{x}＞0$．
∴函数f（x）=ax+lnx是（0，e]上的增函数，
∴f（x）_max=f（e）=ae+1=-3，则$a=-\frac{4}{e}$（舍去）．
③当$0＜-\frac{1}{a}＜e⇒a＜-\frac{1}{e}$时，
在$（0，-\frac{1}{a}）$上f′（x）＞0，在$（-\frac{1}{a}，e]$上f′（x）＜0．
则f（x）=ax+lnx在$（0，-\frac{1}{a}）$上递增，$（-\frac{1}{a}，e]$上递减，
∴$f{（x）_{max}}=f（-\frac{1}{a}）=-1+ln（-\frac{1}{a}）=-3$，解得a=-e²，
④当$e≤-\frac{1}{a}⇒-\frac{1}{e}≤a＜0$时，由于x∈（0，e]．则${f^/}（x）=a+\frac{1}{x}≥0$
∴函数f（x）=ax+lnx是（0，e]上的增函数，
∴f（x）_max=f（e）=ae+1=-3，则$a=-\frac{4}{e}＜-\frac{1}{e}$（舍去）．
综上可知存在实数a=-e²，使得当x∈（0，e]时，f（x）的最大值是-3．…（12分）

点评 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，是一道综合题．