Question

已知：函数f（x）=

2x+1

2x-1

，求：
（1）函数的定义域；
（2）判断函数的奇偶性，并证明；
（3）求函数的值域．

Answer 1

考点：函数奇偶性的判断,函数的定义域及其求法,函数的值域

专题：计算题,函数的性质及应用

分析：（1）由分母不为0，即可解得定义域；
（2）先判断定义域是否关于原点对称，再计算f（-x），与f（x）比较，即可得到奇偶性；
（3）解出2^x=

1+y

y-1

，再由指数函数的值域解不等式，即可得到值域．

解答： 解：（1）由于函数f（x）=

2x+1

2x-1

，
则2x-1≠0，即有x≠0，
则定义域为{x|x≠0且x∈R}；
（2）函数f（x）在{x|x≠0且x∈R}上为奇函数．
理由如下：定义域关于原点对称，
f（-x）=

2-x+1

2-x-1

=

1+2x

1-2x

=-f（x），
则f（x）是奇函数；
（3）由2^x=

1+y

y-1

，
由2^x＞0，即

1+y

y-1

＞0，
解得y＞1或y＜-1．
则值域为（-∞，-1）∪（1，+∞）．

点评：本题考查函数的奇偶性及判断，考查函数的定义域和值域的求法，考查运算能力，属于中档题．