Question

4．关于下列命题：
①函数f（x）=|2cos²x-1|最小正周期是π；
②函数y=cos2（$\frac{π}{4}$-x）是偶函数；
③函数y=4sin（2x-$\frac{π}{3}$）的一个对称中心是（$\frac{π}{6}$，0）；
④关于x的方程sinx+$\sqrt{3}$cosx=a（0≤x≤$\frac{π}{2}$）有两相异实根，则实数a的取值范围是（1，2）．
写出所有正确的命题的题号：③．

Answer 1

分析 由条件利用正弦函数的、余弦函数的周期性、奇偶性、图象的对称性，以及方程的根的存在性，正弦函数、余弦函数的图象特征，得出结论．

解答 解：①函数f（x）=|2cos²x-1|=|cos2x|最小正周期是$\frac{1}{2}$•$\frac{2π}{2}$=$\frac{π}{2}$，故排除①；
②函数y=cos2（$\frac{π}{4}$-x）=cos（$\frac{π}{2}$-2x）=cos（2x-$\frac{π}{2}$）=sin2x，为奇函数，故排除②；
③令2x-$\frac{π}{3}$=kπ，求得x=$\frac{kπ}{2}$+$\frac{π}{6}$，k∈Z，
可得函数y=4sin（2x-$\frac{π}{3}$）的一个对称中心是（$\frac{π}{6}$，0），故③正确；
④关于x的方程sinx+$\sqrt{3}$cosx=a（0≤x≤$\frac{π}{2}$）有两相异实根，
即2sin（x+$\frac{π}{3}$）=a有两相异实根，即y=2sin（x+$\frac{π}{3}$）的图象和直线y=a有两个不同的交点．
∵0≤x≤$\frac{π}{2}$，∴$\frac{π}{3}$≤x+$\frac{π}{3}$≤$\frac{5π}{6}$，故$\sqrt{3}$≤a＜2，
即实数a的取值范围是[$\sqrt{3}$，2），故排除④，
故答案为：③．

点评 本题主要考查正弦函数的、余弦函数的周期性、奇偶性、图象的对称性，以及方程的根的存在性，正弦函数、余弦函数的图象特征，属于中档题．