Question

已知a，b，c∈（0，1），则对于（1-a）b，（1-b）c，（1-c）a说法正确的是（　　）

• A、不能都大于

  1

  4

• B、都大于

  1

  4

• C、都小于

  1

  4

• D、至少有一个大于

  1

  4

Answer 1

考点：综合法与分析法(选修）

专题：证明题,反证法

分析：首先根据题意，通过反证法得出结论．

解答：解：假设（1-a）b，（1-b）c，（1-c）a中都大于

1

4

即

(1-a)b

（1-a）b＞

1

4

，（1-b）c＞

1

4

，（1-c）a＞

1

4

，
即

(1-a)b

＞

1

2

①

(1-b)c

＞

1

2

②

(1-c)a

＞

1

2

③
①②③相加：

(1-a)b

+

(1-b)c

+

(1-c)a

＞

3

2

由基本不等式

(1-a)b

+

(1-b)c

+

(1-c)a

≤

1-a+b

2

+

1-b+c

2

+

1-c+a

2

=

3

2

矛盾所以假设不成立，∴（1-a）b，（1-b）c，（1-c）a中至少有一个不大于

1

4

．
故选：A．

点评：本题考查反证法的应用，涉及不等式的证明与基本不等式的应用，属于中档题．