Question

如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，底面是等边三角形，侧棱AA₁=

6

，D、E分别是CC₁与A₁B的中点，点E在平面ABD上的射影是△ABD的重心，则该三棱柱侧面积为（　　）

• A、

  10

  5

• B、

  15

  5

• C、3

  2

• D、6

  6

Answer 1

考点：棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积

专题：空间位置关系与距离

分析：根据已知中直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，底面是等边三角形，侧棱AA₁=

6

，D、E分别是CC₁与A₁B的中点，点E在平面ABD上的射影是△ABD的重心，结合重心的性质和射影定理，求出底面边长，进而求出底面周长，再由侧棱长，即棱柱的高，代入棱柱侧面积公式，可得答案．

解答：解：设三棱柱底面边长AB=a，
过E作EH⊥DF于H，连结EF，ED，
则EF=

1

2

AA₁=

6

2

，ED=CF=

3

2

a，

因为H为△ABD的重心，
∴EF²：ED²=FH•FD：HD•FD=FH：HD=1：2，
即

3

2

：

3

4

a2=1：2，
解得a=2，
故底面周长C=2×3=6，
又∵棱柱的高h=

6

，
∴棱柱的侧面积S=Ch=6

6

，
故选：D

点评：本题考查正棱柱的侧面积的求法，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答．