题目内容
已知函数f（x）=mx2+lnx-2x在x=1处的切线与直线x-4y+1=0垂直，则函数f（x）的单调增区间为 ．
考点：利用导数研究曲线上某点切线方程
专题：导数的综合应用
分析：求出原函数的导函数，得到函数在x=1时的导数值，由f（x）在x=1处的切线与直线x-4y+1=0垂直求得m的值，然后代入导函数，由导函数大于0求得原函数的单调增区间．
解答：
解：∵f（x）=mx2+lnx-2x，
∴f′(x)=2mx+
-2，
f′（1）=2m-1，
∵函数f（x）在x=1处的切线与直线x-4y+1=0垂直，
∴2m-1=-4，得m=-
．
即f′(x)=-3x+
-2=
（x＞0），
由-3x2-2x+1＞0，解得-1＜x＜
，
∴0＜x＜
．
则函数f（x）的单调增区间为(0，
)．
故答案为：(0，
)．
∴f′(x)=2mx+
| 1 |
| x |
f′（1）=2m-1，
∵函数f（x）在x=1处的切线与直线x-4y+1=0垂直，
∴2m-1=-4，得m=-
| 3 |
| 2 |
即f′(x)=-3x+
| 1 |
| x |
| -3x2-2x+1 |
| x |
由-3x2-2x+1＞0，解得-1＜x＜
| 1 |
| 3 |
∴0＜x＜
| 1 |
| 3 |
则函数f（x）的单调增区间为(0，
| 1 |
| 3 |
故答案为：(0，
| 1 |
| 3 |
点评：本题考查了利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，考查了利用导数研究函数的单调性，是中档题．
练习册系列答案
相关题目
“x＞1”是“x＞
”的（ ）
| 1 |
| x |
| A、充分不必要条件 |
| B、必要不充分条件 |
| C、充分必要条件 |
| D、既不充分也不必要条件 |
已知区域Dn：
（n∈N*）内的整点（横坐标和纵坐标都是整数的点）的个数为an，则
+
+…+
+
=（ ）
|
| 9 |
| a1a2 |
| 9 |
| a2a3 |
| 9 |
| a8a9 |
| 9 |
| a9a10 |
A、
| ||
B、
| ||
C、
| ||
D、
|
已知△ABC的角A、B、C所对边的边为a，b，c，acosA=bcosB，则该三角形现状为（ ）
| A、直角三角形 |
| B、等腰三角形 |
| C、等腰直角三角形 |
| D、直角三角形或等腰三角形 |