Question

已知数列{a_n}，{b_n}中，a₁=a，{b_n}是公比为

2

3

的等比数列．记b_n=

an-2

an-1

（n∈N^*），若不等式a_n＞a_n+1对一切n∈N^*恒成立，则实数a的取值范围是

 

．

Answer 1

考点：数列的函数特性

专题：等差数列与等比数列

分析：根据b_n=

an-2

an-1

表示出a_n来，再由a_n＞a_n+1解a 取值范围即可．

解答： 解∵bn=

an-2

an-1

(n∈N*)，
∴an=

bn-2

bn-1

．
∴an+1-an=

bn+1-2

bn+1-1

-

bn-2

bn-1

=

1

bn-1

-

1

bn+1-1

=

bn+1-bn

(1-bn+1)(1-bn)

=

- 1 3 bn

(1- 2 3 bn)(1-bn)

＜0，
解得bn＞

3

2

或0＜b_n＜1．
若bn＞

3

2

，则b1(

2

3

)n-1＞

3

2

对一切正整数n成立，显然不可能；
若0＜b_n＜1，则0＜b1(

2

3

)n-1＜1对一切正整数n成立，只要0＜b₁＜1即可，即0＜

a1-2

a1-1

＜1，
解得a₁=a＞2．
故答案为a＞2．

点评：本题主要考查等比数列的性质和参数范围的求解，属于基础题．