Question

11．设函数f（x）=|x-a|+|x|．
（Ⅰ）若a=1，解不等式f（x）＞2；
（Ⅱ）若存在x∈R，使得不等式f（x）$≤\frac{{t}^{2}+3}{t+1}$对任意t＞-1恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）把a=1，代入不等式f（x）＞2，利用绝对值的几何意义得答案；
（Ⅱ）利用不等式求出$\frac{{t}^{2}+3}{t+1}$在t＞-1时的最小值，转化为存在x∈R，使得不等式f（x）≤2成立，进一步借助于绝对值的几何意义求得实数a的取值范围．

解答 解：（Ⅰ）当a=1，f（x）=|x-1|+|x|．
不等式f（x）＞2化为|x-1|+|x|＞2．
如图，由绝对值的几何意义可得：
（Ⅱ）当t＞-1时，t+1＞0，
$\frac{{t}^{2}+3}{t+1}=\frac{（t+1）^{2}-2（t+1）+4}{t+1}$=$（t+1）+\frac{4}{t+1}-2≥2\sqrt{（t+1）•\frac{4}{t+1}}-2=2$．
当且仅当t+1=$\frac{4}{t+1}$，即t=1时取等号；
若存在x∈R，使得不等式f（x）$≤\frac{{t}^{2}+3}{t+1}$对任意t＞-1恒成立，
即存在x∈R，使得不等式f（x）≤2成立．
∴在x∈R，使|x-a|+|x|≤2成立．
如图，由绝对值的几何意义可得：
-2≤a≤2．

点评 本题考查函数恒成立问题，考查了绝对值不等式的解法，正确理解、运用绝对值的几何意义是解答该题的关键，是中档题．