Question

19．已知函数f（x）=|x+a|-|x+2|-2a．
（1）当a=-1时，求不等式f（x）≤0的解集；
（2）若不等式f（x）≤0恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）当a=-1时，函数f（x）=|x-1|-|x+2|+2，利用零点分段法，分别求出各段上满足f（x）≤0的x的范围，综合讨论结果，可得答案；
（2）若不等式f（x）≤0恒成立，则|x+a|-|x+2|≤2a．即|a-2|≤2a恒成立，解得答案．

解答 解：（1）当a=-1时，函数f（x）=|x-1|-|x+2|+2，
当x≤-2时，不等式f（x）≤0可化为：5≤0，恒不成立；
当-2＜x＜1时，不等式f（x）≤0可化为：-2x+1≤0，解得：x≥$\frac{1}{2}$，
故$\frac{1}{2}$≤x＜1；
当x≥1时，不等式f（x）≤0可化为：-1≤0，恒成立；
综上可得不等式f（x）≤0的解集为：[$\frac{1}{2}$，+∞）；
（2）若不等式f（x）≤0恒成立，
则|x+a|-|x+2|≤2a．
即|a-2|≤2a恒成立，
即-2a≤a-2≤2a恒成立，
解得：a≥$\frac{2}{3}$

点评 本题考查的知识是分段函数的应用，恒成立问题，分类讨论思想，难度中档．