Question

已知三点A（-

1

2

，0），B（2，0），P（sin（2x-

π

3

），cos（2x-

π

3

））（

π

12

≤x≤

π

4

）
（1）求△ABP面积的最小值；
（2）在（1）的条件下，求∠ABP的大小．

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用

专题：计算题

分析：（1）根据x的范围，判断出p点在x轴上方，列出面积的表达式，根据余弦函数的单调性求得其最小值．
（2）求出|OP|、|PB|、|OB|的长度，利用勾股定理判断△OPB为直角三角形，进而求得∠ABP．

解答： 解：（1）∵

π

12

≤x≤

π

4

，
∴-

π

6

≤2x-

π

3

≤

π

6

，
∴cos(2x-

π

3

)＞0，即点P在x轴上方，
∴S△ABP=

1

2

•

5

2

•cos(2x-

π

3

)=

5

4

cos(2x-

π

3

)，
∵-

π

6

≤2x-

π

3

≤

π

6

∴S△ABP≥

5

8

3

，当且仅当x=

π

4

时，△ABP的面积的最小值为

5

8

3

．
（2）当△ABP的面积取最小值时，点P(

1

2

，

3

2

)，
∴|OP|=

( 1 2 )2+( 3 2 )2

=1，|PB|=

( 1 2 -2)2+( 3 2 )2

=

3

，|OB|=2
∴|OP|²+|PB|²=|OB|²，即△OPB为直角三角形，且|OP|=1，|OB|=2，
∴∠ABP=

π

6

点评：本题主要考查了三角函数中的恒等变换的应用．注重了对三角函数基础知识的考查．