Question

已知命题p：方程（m-1）x²+（3-m）y²=（m-1）（3-m）表示的曲线是双曲线；命题q：函数f（x）=x³-mx在区间（-∞，-1）上为增函数，若“p∨q”为真命题，“p∧q”为假命题，求实数m的取值范围．

Answer 1

考点：双曲线的简单性质,复合命题的真假

专题：综合题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：由题意，可先解出两个命题中参数满足的范围，再根据复合函数真假判断出p，q一真一假，分两类得出参数的范围即可得到答案

解答： 解：命题p：方程（m-1）x²+（3-m）y²=（m-1）（3-m）表示的曲线是双曲线，则有（m-1）（3-m）＜0解得m＜1或m＞3…2分
命题q：函数f（x）=x³-mx在区间（-∞，-1）上为增函数，∴f′（x）=3x²-m≥0在区间（-∞，-1）上恒成立，于是m≤（3x²）_min=3…4分
∵“p∨q”为真命题，“p∧q”为假命题，∴p，q一真一假．     …（6分）
若p真q假，则

m＜1或m＞3 m＞3

解得：m＞3        …（8分）
若p假q真，则

1≤m≤3 m≤3

解得：1≤m≤3      …（10分）
综上所述，满足条件的实数m的取值范围是[1，+∞）   …（12分）

点评：本题考查双曲线的性质，复合命题真假的判断，函数的单调性与导数的关系，涉及到的知识点较多，综合性强，解答时要认真审题，严谨转化